Problemas con movimiento rectilíneo uniforme
Encuentro de dos móviles que parten en sentidos opuestos
1. Dos móviles parten simultáneamente de dos puntos A y B que están separados por \(180\, \text{km}\). El móvil que parte de A se desplaza hacia B con una velocidad constante de \(50\, \text{km/h}\) y el móvil que parte de B se mueve hacia A con una velocidad constante de \(40\, \text{km/h}\).
Calcular:
- a. ¿Cuánto tiempo tardan en encontrarse?
- b. ¿A qué distancia del punto A ocurre el encuentro?
Solución:
Sea \(t\) el tiempo (en horas) que tardan en encontrarse desde que parten.
La distancia recorrida por el móvil desde A es:
\[ d_A = 50t \]
La distancia recorrida por el móvil desde B es:
\[ d_B = 40t \]
Como la suma de las distancias es la distancia total entre A y B:
\[ d_A + d_B = 180 \]
Sustituyendo:
\[ 50t + 40t = 180 \]
\[ 90t = 180 \]
\[ t = \frac{180}{90} = 2\, \text{horas} \]
La distancia desde A hasta el punto de encuentro es:
\[ d_A = 50 \cdot 2 = 100\, \text{km} \]
Respuesta:
- a. Los móviles se encuentran 2 horas después de partir.
- b. El encuentro ocurre a 100 km del punto A.
Alcance de un móvil más rápido
2. Un ciclista parte de un punto con una velocidad constante de \( 10 \, \text{m/s} \). Cinco segundos después, parte un motociclista desde el mismo punto con una velocidad constante de \( 20 \, \text{m/s} \). ¿En qué instante el motociclista alcanza al ciclista y a qué distancia del punto de partida ocurre el encuentro?
Solución
Sabemos que en un movimiento rectilíneo uniforme se cumple la relación:
De aquí se puede expresar la distancia recorrida como:
El ciclista parte primero, por lo que cuando el motociclista comienza su recorrido, el ciclista ya ha avanzado una cierta distancia. Si \( t \) representa el tiempo transcurrido desde que el motociclista parte, el tiempo total del ciclista será \( t + 5 \) segundos.
Como ambos se encuentran en el mismo punto en el momento del alcance, las distancias recorridas por ambos son iguales:
Usando la relación \( d = v \, t \):
\[ 10 (t + 5) = 20t \]
Desarrollamos la ecuación:
\[ 10t + 50 = 20t \]
Despejamos \( t \):
\[ 50 = 10t \Rightarrow t = 5 \, \text{s} \]
El motociclista alcanza al ciclista después de 5 segundos de haber iniciado su marcha. Como el ciclista partió 5 segundos antes, el tiempo total que llevaba moviéndose es:
\[ t_{\text{ciclista}} = 5 + 5 = 10 \, \text{s} \]
La distancia al punto de encuentro se obtiene con:
\[ d = v_{\text{ciclista}} \, t_{\text{ciclista}} = 10 \times 10 = 100 \, \text{m} \]
Respuesta: El motociclista alcanza al ciclista 5 segundos después de iniciar su recorrido, a una distancia de 100 metros del punto de partida.
Distancia recorrida en un tiempo dado
3. Un automóvil se desplaza con velocidad constante de \( 15 \, \text{m/s} \). Calcular la distancia que recorre después de 12 segundos.
Solución
En un movimiento rectilíneo uniforme se cumple la relación básica:
De aquí podemos despejar la distancia:
Sustituimos los valores conocidos:
\[ d = 15 \times 12 = 180 \, \text{m} \]
Respuesta: El automóvil recorre 180 metros después de 12 segundos.
Tiempo para llegar a un punto específico
4. Un tren se desplaza con velocidad constante de \( 25 \, \text{m/s} \). Calcular el tiempo que tarda en recorrer 500 metros desde su posición inicial.
Solución
En un movimiento rectilíneo uniforme se cumple la relación básica:
De aquí podemos despejar el tiempo:
Sustituimos los valores conocidos:
\[ t = \dfrac{500}{25} = 20 \, \text{s} \]
Respuesta: El tren tarda 20 segundos en recorrer 500 metros desde su posición inicial.
Posición después de un tiempo con posición inicial distinta de cero
5. Un ciclista parte de una posición inicial de 50 metros desde el punto de referencia y se desplaza con velocidad constante de \( 8 \, \text{m/s} \). Calcular su posición en función del tiempo y su posición después de 10 segundos.
Solución
En un movimiento rectilíneo uniforme con posición inicial \( x_0 \) se cumple la relación básica:
La distancia recorrida desde el inicio es \( d = v \, t \), y la posición en función del tiempo se obtiene sumando la posición inicial:
Sustituimos los valores conocidos para la posición en función del tiempo:
\[ x(t) = 50 + 8 \, t \]
Para calcular la posición después de 10 segundos:
\[ x(10) = 50 + 8 \cdot 10 = 50 + 80 = 130 \, \text{m} \]
Respuesta: La posición del ciclista después de 10 segundos es 130 metros. La posición en función del tiempo está dada por \( x(t) = 50 + 8t \).
Movimiento con cambio de dirección
6. Un automóvil se desplaza inicialmente hacia el este con velocidad constante de \( 12 \, \text{m/s} \) durante 15 segundos. Luego invierte su dirección y se mueve hacia el oeste a la misma velocidad durante 5 segundos. Calcular su posición final respecto al punto de partida.
Solución
En un movimiento rectilíneo uniforme se cumple la relación básica:
La distancia recorrida en cada tramo se calcula con \( d = v \, t \). Tomamos hacia el este como dirección positiva y hacia el oeste como dirección negativa.
Distancia recorrida hacia el este:
\[ d_1 = 12 \cdot 15 = 180 \, \text{m} \]
Distancia recorrida hacia el oeste (dirección negativa):
\[d_2 = - (12 \cdot 5) = -60 \, \text{m}\]
Posición final respecto al punto de partida:
Respuesta: La posición final del automóvil respecto al punto de partida es 120 metros hacia el este.
Problema de persecución con ventaja inicial
7. Dos corredores parten del mismo punto, uno antes que el otro, digamos \( t_a \) segundos antes. El primero se mueve con velocidad constante de \( 6 \, \text{m/s} \) y el segundo con velocidad constante de \( 10 \, \text{m/s} \). Calcular en qué instante y a qué distancia el segundo corredor alcanza al primero.
Solución
En un movimiento rectilíneo uniforme se cumple la relación básica:
La distancia recorrida por el primero, que tiene ventaja de \( t_a \) segundos, es:
\[ d_1 = 6 (t + t_a) \]
La distancia recorrida por el segundo es:
\[ d_2 = 10 \, t \]
El segundo alcanza al primero cuando las distancias son iguales:
\[ 6 (t + t_a) = 10 \, t \]
Desarrollamos la ecuación:
\[ 6t + 6 t_a = 10t \]
Despejamos \( t \):
\[ 10t - 6t = 6 t_a \Rightarrow 4t = 6 t_a \Rightarrow t = \dfrac{3}{2} t_a \]
La distancia al punto de encuentro se obtiene con la distancia del segundo corredor:
\[ d = 10 \, t = 10 \times \dfrac{3}{2} t_a = 15 \, t_a \]
Respuesta: El segundo corredor alcanza al primero después de \( t = \frac{3}{2} t_a \) segundos desde su partida, a una distancia de \( d = 15 \, t_a \) metros desde el punto de partida.
Problema con velocidad desconocida
8. Un tren recorre 360 metros en 24 segundos. Calcular la velocidad del tren.
Solución
En un movimiento rectilíneo uniforme se cumple la relación básica:
Sustituimos los valores conocidos:
\[ v = \dfrac{360}{24} \]
Realizamos la división:
\[ v = 15 \, \text{m/s} \]
Respuesta: La velocidad del tren es \( 15 \, \text{m/s} \).
Problema de movimiento relativo
9. Dos ciclistas se desplazan en la misma dirección. El primero tiene velocidad constante de \( 8 \, \text{m/s} \) y el segundo de \( 12 \, \text{m/s} \). Si parten al mismo tiempo desde posiciones diferentes, con el segundo 20 metros detrás del primero, calcular la distancia entre ellos después de 5 segundos.
Solución
En un movimiento rectilíneo uniforme se cumple la relación básica:
Distancia recorrida por el primero:
\[ d_1 = 8 \cdot 5 = 40 \, \text{m} \]
Distancia recorrida por el segundo, sumando la distancia inicial de 20 metros detrás:
\[ d_2 = 12 \cdot 5 - 20 = 60 - 20 = 40 \, \text{m} \]
Distancia relativa entre los ciclistas después de 5 segundos:
\[ \Delta d = d_1 - d_2 = 40 - 40 = 0 \, \text{m} \]
Respuesta: Después de 5 segundos, el segundo ciclista alcanza al primero, por lo que la distancia entre ellos es 0 metros.
Problema con pausa o parada intermedia
10. Un corredor se desplaza a velocidad constante de \( 5 \, \text{m/s} \) durante 20 segundos, luego se detiene 10 segundos y finalmente continúa a la misma velocidad durante 15 segundos. Calcular el tiempo total transcurrido y la posición final del corredor respecto al punto de partida.
Solución
En un movimiento rectilíneo uniforme se cumple la relación básica:
Distancia recorrida en el primer tramo:
\[ d_1 = 5 \times 20 = 100 \, \text{m} \]
Durante la pausa de 10 segundos no se recorre distancia:
\[ d_{\text{pausa}} = 0 \, \text{m} \]
Distancia recorrida en el segundo tramo después de la pausa:
\[ d_2 = 5 \times 15 = 75 \, \text{m} \]
Posición final respecto al punto de partida:
\[ x_{\text{final}} = d_1 + d_{\text{pausa}} + d_2 = 100 + 0 + 75 = 175 \, \text{m} \]
Tiempo total transcurrido:
\[ t_{\text{total}} = 20 + 10 + 15 = 45 \, \text{s} \]
Respuesta: La posición final del corredor es 175 metros, y el tiempo total transcurrido es 45 segundos.
Comentarios
Publicar un comentario