Vectores en el plano
Vectores en el plano
Consideremos los puntos \(A = (x_1,y_1)\) y \(B = (x_2,y_2)\). Un vector de origen \(A\) y extremo \(B\) se denota por \(\vec{AB}\) y lo podemos considerar como un segmento de recta que comienza en \(A\) y termina en \(B\), con una flecha como punta en \(B\).
Hay vectores que tienen la misma longitud, son paralelos y sus flechas apuntan hacia el mismo lado que este mismo vector.
Por ejemplo, el vector \( \vec{v}\) de origen \((1,0)\) y extremo \((3,2)\) y el vector \( \vec{w}\) de origen \((2,3)\) y extremo \((4,5)\) son dos vectores de este tipo:
En realidad hay infinitos vectores con las mismas condiciones, es decir, tienen la misma magnitud (longitud o módulo), dirección (son paralelos) y sentido (apuntan de la misma manera en su propia dirección). Todos los vectores con estas condiciones se llaman vectores equipolentes.
Estos vectores tienen sus propios orígenes y sus propios extremos, lo que implica que no son iguales, pero son equipolentes. Estos vectores se llaman vectores anclados.
Dado un vector \( \vec{v}\), el conjunto de todos los vectores equipolentes a este se llama vector libre con representante \( \vec{v}\) o simplemente vector libre si no hay lugar a confusión.
Si dos vectores son equipolentes, significa que pertenecen al mismo vector libre. Esto es útil, ya que puedo usar dos vectores equipolentes distintos para representar al mismo vector libre.
Si un vector \( \vec{v}\) tiene origen \(A = (x_1,y_1)\) y extremo \(B = (x_2,y_2)\), el vector
tiene origen en el origen \((0,0)\) y extremo en \((x_2-x_1,y_2-y_1)\) y es equipolente a \( \vec{v}\), es decir, también pertenece al vector libre con representante \( \vec{v}\).
Por ejemplo, si \(A = (1,3)\) y \(B = (4,5)\), entonces \( \vec{AB} = (4-1,5-3) = (3,2)\).
A este vector se le conoce como vector anclado al origen.
En lo que sigue, salvo que se indique lo contrario, los vectores dados estarán anclados al origen.
Producto de un escalar por un vector
Un escalar es sencillamente un número.
Sea \(\alpha\) un escalar y \(\vec{v} = (x,y)\). Se define el producto del escalar \(\alpha\) por el vector \(\vec{v} = (x,y)\) como el vector:
Ejemplo:
Si \( \vec{v}=(3,2)\), \( 2 \vec{v}=2(3,2) = (2\cdot 3,2 \cdot 2) = (6,4)\).
Suma de vectores
Sean los vectores \(\vec{x} = (x_1,x_2)\) y \(\vec{y} = (y_1,y_2)\). Se define la suma como el vector:
Ejemplo:
\(\vec{x} = (1,4)\) y \(\vec{y} = (3,1)\), entonces \( \vec{x} + \vec{y} = (1+3,4+1) = (4,5)\).
Esta definición da lo que se llama regla del paralelogramo.
Base canónica del plano
Se llama base canónica del plano al conjunto \(B=\{\vec{i},\vec{j}\}\), donde \(\vec{i}=(1,0)\) y \(\vec{j}=(0,1)\).
Los vectores \(\vec{i}\) y \(\vec{j}\) son llamados vectores canónicos.
Combinación lineal
Sean \(\vec{w}\) y \(\vec{z}\) dos vectores en el plano. Se dice que el vector \(\vec{v}\) es una combinación lineal de los vectores \(\vec{w}\) y \(\vec{z}\) si existen escalares \(\alpha\) y \(\beta\) tales que:
Ejemplo:
Si \(\vec{w} = (1,-3)\) y \(\vec{z} = (-2,1)\), entonces:
\(3\vec{w} + 2\vec{z} = 3(1,-3) + 2(-2,1) = (3,-9) + (-4,2) = (3-4,-9+2) = (-1,-7)\)
De aquí que \((-1,-7\)) es combinación lineal de los vectores \(\vec{w}\) y \(\vec{z}\).
Nota: Todos los vectores \(\vec{v}=(x,y)\) se pueden escribir como combinación lineal de la base canónica:
A los números \(x\) y \(y\) se les llama componentes del vector, \(x\) es la componente horizontal y \(y\) es la componente vertical.
Ejemplo:
El vector \(\vec{v} = (3,-4)\) se puede escribir como \(\vec{v} = 3\vec{i}-4\vec{j}\).
Magnitud
La magnitud de un vector, también llamada módulo o longitud, representa el tamaño del vector, es decir, la distancia entre su punto inicial y su punto final. Se calcula a partir de sus componentes usando el teorema de Pitágoras.
Si \( \vec{v}=(x,y)\), entonces su magnitud es:
Ejemplo:
Para el vector \(\vec{v} = 3\vec{i} + 4\vec{j}\), su magnitud es \(|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\).
Dirección
La dirección de un vector indica la inclinación del vector respecto a un eje de referencia, usualmente el eje \(x\). Esta se expresa mediante un ángulo, que puede calcularse con la función tangente inversa a partir de sus componentes.
Si \(\vec{v}=(x,y)\), la dirección está determinada por la fórmula:
siempre que \(x \neq 0\). Este ángulo se mide desde el eje \(x\) positivo (el naciente).
Cuando \(x=0\), entonces, si \(y \gt 0\), \(\theta = 90°\). Si \(y \lt 0\), \(\theta = 270°\).
Este ángulo determina hacia dónde apunta el vector dentro del plano, sin importar su longitud.
Ejemplo:
Si un vector tiene componentes \(x = 1\) y \(y = \sqrt{3}\), su dirección es \(\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^\circ\).
Sentido
El sentido de un vector indica hacia qué lado apunta sobre su línea de acción. Por ejemplo, un vector puede tener la misma dirección (misma línea), pero sentidos opuestos. El sentido se representa gráficamente mediante una flecha que señala desde el punto inicial hacia el punto final del vector.
El sentido es importante para distinguir entre vectores que actúan en direcciones contrarias a lo largo de la misma línea.
Ejemplo:
Los vectores \(\vec{v}_1 = 2\vec{i}\) y \(\vec{v}_2 = -2\vec{i}\) tienen la misma dirección (el eje \(x\)), pero sentidos opuestos: \(\vec{v}_1\) apunta hacia la derecha y \(\vec{v}_2\) hacia la izquierda.
Vectores paralelos
Dos vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) son paralelos si existe un escalar \(k\) tal que:
en cuyo caso escribiremos:
Ejemplo:
Si \(\vec{a} = 2\vec{i} + 4\vec{j}\) y \(\vec{b} = \vec{i} + 2\vec{j}\), entonces \(\vec{a} = 2\vec{b}\), por lo tanto, son paralelos.
Vector nulo
El vector nulo, denotado por \(\vec{0}\) es el vector anclado en el origen con extremo en el origen, es decir:
El módulo de este vector es 0, no tiene dirección ni sentido.
Vector unitario en la dirección de otro vector
Para encontrar un vector unitario que tenga la misma dirección que un vector dado no nulo, se divide el vector original entre su magnitud. De esta manera se conserva la dirección, pero se ajusta la magnitud a 1.
Esto es útil cuando se quiere trabajar solo con la dirección del vector, sin importar su tamaño.
Ejemplo:
El vector unitario y paralelo al vector \(\vec{v} = (-1,-2)\), lo calculamos así:
\[\vec{u} = \displaystyle \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \displaystyle \frac{(-1,-2)}{\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}(-1,-2) = \left(-\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\]
Producto escalar
Sean \(\vec{v} = (v_1,v_2)\) y \(\vec{w} = (w_1,w_2)\). Se define el producto escalar de \(\vec{v}\) por \(\vec{w}\), como el número:
Ejemplo:
El producto escalar de los vectores \(\vec{v} = (2,-1)\) y \(\vec{w} = (3,2)\) es:
\[\vec{v} \cdot \vec{w} = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 6-2=4\]
Una consecuencia directa de esta definición, es que:
Ejemplo:
Sean \(\vec{u} = \left( 2,\ 1 \right)\) y \(\vec{v} = \left( -1,\ 2 \right)\). El producto de estos dos vectores es:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 \]
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = -2 + 2 = 0 \]
Esto significa que los vectores son ortogonales (El ángulo entre los vectores es \(90°\)).
Ejercicios resueltos:
1. Graficar el vector \(\vec{u} = (1,-3)\).
Respuesta:
2. Sean los puntos \(A = (-2,-3)\), \(B = (2,-1)\), \(C = (-1,2)\), \(D = (3,4)\) y los vectores \(\vec{v} = \vec{AB}\) y \(\vec{w} = \vec{CD}\). Verificar si los vectores \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son equipolentes.
Respuesta:
\(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) serán equipolentes si son equipolentes al mismo vector anclado al origen.
Calculemos los vectores anclados al orige equipolentes a \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\):
\(\vec{v_0} = (2-(-2),-1-(-3)) = (4,2)\).
\(\vec{w_0} = (3-(-1),4-2) = (4,2)\).
De modo que \(\vec{v_0} = \vec{w_0}\), así que \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) son equipolentes.
3. Dados los vectores \(\vec{v} = (1,-3)\) y \(\vec{w} = (-2,3)\), calcule el vector \(-2\vec{v} + 3\vec{w}\).
Respuesta:
\(-2\vec{v} + 3\vec{w} = -2(1,-3) + 3(-2,3) = (-2,6) + (-6,9) = (-2-6,6+9) = (-8,15)\)
4. Dados los vectores \(\vec{v} = (1,2)\), \(\vec{w} = (4,1)\). Escribir el vector \(\vec{z} = (2,3)\) como combinación lineal de \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\).
Respuesta:
Queremos expresar el vector \(\vec{z}\) como una combinación lineal de \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\), es decir, encontrar escalares \(a\) y \(b\) tales que:
\[\vec{z} = a\vec{v} + b\vec{w}\]
Sustituimos los vectores:
\[(2,3) = a(1,2) + b(4,1)\]
Multiplicamos y sumamos los vectores:
\[(2,3) = (a, 2a) + (4b, b) = (a + 4b, 2a + b)\]
Igualamos componentes:
\[ \begin{cases} a + 4b = 2 \\ 2a + b = 3 \end{cases} \]
Despejamos \(a\) de la primera ecuación:
\[a = 2 - 4b\]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ 2(2 - 4b) + b = 3 \\ 4 - 8b + b = 3 \\ 4 - 7b = 3 \\ -7b = -1 \Rightarrow b = \frac{1}{7} \]
Sustituimos el valor de \(b\) en la expresión de \(a\):
\[ a = 2 - 4\left(\frac{1}{7}\right) = 2 - \frac{4}{7} = \frac{10}{7} \]
Por lo tanto, el vector \(\vec{z}\) puede escribirse como:
\[\vec{z} = \frac{10}{7} \vec{v} + \frac{1}{7} \vec{w}\]
5. Calcular el valor de \(x\), para que el vector \(\vec{v} = (x,4)\) tenga módulo igual a 5.
Respuesta:
Queremos encontrar el valor de \(x\) para que el vector \(\vec{v} = (x,4)\) tenga módulo igual a 5. Recordemos que el módulo (o norma) de un vector en \(\mathbb{R}^2\) se calcula como:
\[ \|\vec{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
En este caso, \(y = 4\), y se nos dice que el módulo es 5, por lo tanto:
\[ \sqrt{x^2 + 4^2} = 5 \]
\[ \sqrt{x^2 + 16} = 5 \]
Elevamos ambos lados al cuadrado:
\[ x^2 + 16 = 25 \]
Restamos 16 a ambos lados:
\[ x^2 = 9 \]
Tomamos la raíz cuadrada:
\[ x = \pm 3 \]
Por lo tanto, los valores de \(x\) que hacen que el vector \(\vec{v} = (x,4)\) tenga módulo 5 son:
\[ x = 3 \quad \text{o} \quad x = -3 \]
6. Calcula el valor de \(y\) para el vector \(\vec{v} = (2,y)\) tenga dirección a 30°.
Respuesta:
\(\theta = \text{tan}^{-1} \left( \displaystyle \frac{y}{x} \right) \Rightarrow 30° = \text{tan}^{-1} \left( \displaystyle \frac{y}{2} \right) \Rightarrow \text{tan}(30°) = \displaystyle \frac{y}{2} \Rightarrow \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} = \displaystyle \frac{y}{2} \Rightarrow y= \displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}\)